Generalidades del Sistema de Medidas

1. Descripción de un Sistema de Medida y Control.

En todo proceso se lleva a cabo un conjunto de pasos y etapas con el objeto de permitir el desarrollo y la obtención de un producto final de acuerdo a las especificaciones y características deseadas. Para concretarlo en forma cierta dicho proceso presenta etapas como una captación de la variable, otra que controla y una que actúa de tal modo de mantener un estado estable dentro del ciclo productivo. Todo parte de la variable que al ser sensada se compara con un valor deseado u óptimo y de acuerdo al error se procede a tomar las medidas necesarias para actuar en dicha variable y al momento de sensar nuevamente verificar si el proceso esta garantizando lo que se desea finalmente. También puede existir en los procesos la parte de visualización de tal manera de llevar control y registro que permita llevar un seguimiento en el comportamiento del mismo asi como evaluar posible correcciones o mejoras dentro del sistema.

2. Identificación del Sistema de Medida y su Bloque Constitutivo.

En un proceso el sistema de medida es la combinación de dos o mas elementos o subconjuntos y partes necesarias para brindar un valor efectivo a una propiedad o cualidad de un evento u objeto de tal forma que lo describa (pallas, sensores).

Diagrama de bloques sintético de un sistema de medida.

Todo sistema de medición exige etapas básicas como adquirir la información mediante un sensor o transductor, procesar dicha información y presentar esos resultados. A pesar de que el sistema de medida conformado por diversos subsistemas no siempre estos pueden ser identificados como unidades físicas separadas. Por lo que se introduce un concepto como el interfaz que no es más que el conjunto de elemento que modifica las señales pero sin cambiar su naturaleza. Esto integrado dentro de la etapa del proceso como tal.

Figura 2. Diagrama de bloques sintético de un sistema de medida.

2.1 Definición de Cada Bloque Constitutivo.

Transductor: Dispositivo que convierte una señal de una forma física en una señal correspondiente pero de otra forma física. Preferiblemente se usan los de tipos electrónicos ya que no influyen en el sistema al tomar energía del mismo, realizado una muy exacta conversión de un para metro no eléctrico a uno eléctrico sin tantos desvíos o errores, es versátil y posible de agregar demás funciones de acondicionamiento.

Sensor y Actuador: Dispositivo que a partir de la energía del medio donde se mide, da una señal transducible que es función de la variable medida. El mismo es conocido como transductor de entrada. Si la conversión de la señal es para modificar una condición o parámetros del sistema se dice que es un transductor actuador.
Acondicionador: Son los elementos del sistema de medida que ofrecen a partir de la señal de salida de un sensor electrónico, una señal apta para ser presentada o registrada o simplemente permita un procesamiento posterior mediante un equipo o instrumento estándar.El acondicionador permite amplificar, filtrar, adaptar impedancias y modular o demodular, conversión entre dominios, procesamiento (linealización, estandarización, etc).

Todo esto sobre parámetros establecidos del forma que la señal sea la mas óptima y sin ningún tipo de errores o inestable para que en el camino hacia otros procesos la información sea recibida de forma correcta.

2.2 Conceptos generales sobre la medida.

Margen de medida: La diferencia entre los valores máximo y mínimo de una magnitud constituye su campo o margen de variación o medida. El menor cambio que se puede discriminar se denomina resolución.
El cociente entre el margen de medida y la resolución se denomina margen dinámico (MD), y se expresa a menudo en decibelios. Para que un bloque de la figura 2 sea compatible con el siguiente es necesario que el margen dinámico de entrada del segundo sea igual o mayor que el margen dinámico de salida del primero, y que los niveles de las señales coincidan. Esto brindaría que en cada uno de los elementos una vez que actúen en el proceso, la información que entregue al segundo elemento no se vea afectada por no estar en los margenes o estándar.

3. El sensor.
3.1 Clasificación.
Según el aporte de energía, los sensores se pueden dividir en moduladores y generadores. En los sensores moduladores o activos, la energía de la señal de salida procede, en su mayor parte, de una fuente de energía auxiliar. La entrada sólo controla la salida. En los sensores generadores o pasivos, en cambio, la energía de salida es suministrada por la entrada. Los sensores moduladores requieren en general más hilos que los generadores, ya que la energía de alimentación suele suministrarse mediante hilos distintos a los empleados para la señal. Además, esta presencia de energía auxiliar puede crear un peligro de explosiones en algunos ambientes. Por contra, su sensibilidad se puede modificar a través de la señal de alimentación, lo que no permiten los sensores generadores.

Según la señal de salida, los sensores se clasifican en analógicos o digitales. En los analógicos la salida varía, a nivel macroscópico, de forma continua. La información está en la amplitud, si bien se suelen incluir en este grupo los sensores con salida en el dominio temporal. Si es en forma de frecuencia, se denominan, a veces, «casi digitales», por la facilidad con que se puede convertir en una salida digital. En los sensores digitales, la salida varía en forma de saltos o pasos discretos. No requieren conversión AID y la transmisión de su salida es más fácil. Tienen también mayor fidelidad y mayor fiabilidad, y muchas veces mayor exactitud, pero lamentablemente no hay modelos digitales para muchas de las magnitudes físicas de mayor interés.

El modo de funcionamiento, los sensores pueden ser de deflexión o de comparación.En los sensores que funcionan por deflexión, la magnitud medida produce algún efecto físico, que engendra algún efecto similar, pero opuesto, en alguna parte del instrumento, y que está relacionado con alguna variable útil. Un dinamómetro para la medida de fuerzas es un sensor de este tipo en el que la fuerza aplicada deforma un muelle hasta que la fuerza de recuperación de éste. Proporcional a su longitud, iguala la fuerza aplicada.

Según el tipo de relación entrada-salida, los sensores pueden ser de orden cero, de primer orden, de segundo orden o de orden superior. El orden está relacionado con el número de elementos almacenadores de energía independientes que incluye el sensor, y repercute en su exactitud y velocidad de respuesta. Esta clasificación es de gran importancia cuando el sensor forma parte de un sistema de control en lazo cerrado.

Ahora bien, para el estudio de un gran número de sensores se suele acudir a su clasificación de acuerdo con la magnitud medida. Se habla, en consecuencia, de sensores de temperatura, presión, caudal, humedad, posición, velocidad, aceleración, fuerza, par, etc. Sin embargo, esta clasificación difícilmente puede ser exhaustiva ya que la cantidad de magnitudes que se pueden medir es prácticamente inagotable.

Desde el punto de vista de la ingeniería electrónica, es más atractiva la clasificación de los sensores de acuerdo con el parámetro variable: resistencia, capacidad, inductancia, añadiendo luego los sensores generadores de tensión, carga o corriente, y otros tipos no incluidos en los anteriores grupos.

3.2 Interferencias.

Se denomina interferencias o perturbaciones externas aquellas señales que afectan al sistema de medida como consecuencia del principio utilizado para medir las señales de interés.

Las Perturbaciones internas son aquellas señales que afectan indirectamente a la salida debidos a su efecto sobre las características del sistema de medida.

3.3 Compensación de errores.

Los efectos de las perturbaciones internas y externas pueden reducirse mediante una alteración del diseño o a base de añadir nuevos componentes al sistema. Un método para ello es el denominado diseño con insensibilidad intrínseca. Se trata de diseñar el sistema de forma que sea inherentemente sensible sólo a las entradas deseadas.

El método de la realimentación negativa se aplica con frecuencia para reducir el efecto de las perturbaciones internas, y es el método en el que se basan los sistemas de medida por comparación. Si la realimentación negativa es insensible a la perturbación considerada y está diseñada de forma que el sistema no se haga inestable, resulta entonces que la señal de salida no vendrá afectada por la perturbación.

Otra técnica para reducir las interferencias es el filtrado. Un filtro es todo dispositivo que separa señales de acuerdo con su frecuencia u otro criterio. Una última técnica de compensación de perturbaciones es la utilización de entradas opuestas, que se aplica con frecuencia para compensar el efecto de las variaciones de temperatura. Si, por ejemplo, una ganancia varía con la temperatura por depender de una resistencia que tiene coeficiente de temperatura positivo, puede ponerse en serie con dicha resistencia otra que varíe de opuesta (con coeficiente de temperatura negativo) y así mantener constante la ganancia a pesar de los cambios de temperatura.

4. Características Estáticas de los Sistemas de Medida.

Las aplicaciones la variable de medida varía tan lentamente que con conocer las características estáticas del sensor es suficiente.

Exactitud: Es la capacidad de un instrumento de dar indicaciones que se aproximen al verdadero valor de la magnitud medida. El valor exacto se obtiene mediante métodos de medidas validados internacionalmente. La exactitud de obtiene mediante la calibración estática que no es mas que medir poco a poco una variable, y se construye entonces el patrón de referencia.

Precisión: Es la cualidad que caracteriza la capacidad de un instrumento de medida de dar el mismo valor de la magnitud medida, al medir varias veces en unas mismas condiciones determinadas, prescindiendo de su concordancia o discrepancia con el valor real de dicha magnitud.

Sensibilidad o Factor de Escala: es la pendiente de la curva de calibración , que puede ser o no constante a lo largo de la escala de medida.La sensibilidad en un punto cualquiera x0 viene dada por:
S(x0) = dy/dx (evaluado en x = x0)

En los sensores se desea una alta sensibilidad y constante.

Linealidad: Expresa el grado de coincidencia entre la curva de calibración y una línea recta
determinada. Hay varios tipos de linealidad:

a) Linealidad independiente: la línea de referencia se obtiene por el método de los mínimos cuadrados.
b) Linealidad ajustada al cero: mínimos cuadrados pero que pase por cero.
c) Linealidad terminal.
d) Linealidad a través de los extremos.
e) Linealidad teórica: la recta es la definida por las previsiones teóricas formuladas al diseñar el sensor.

Resolución: Es el incremento mínimo de la entrada para el que se obtiene un cambio en la salida.

Histéresis: Se refiere a la diferencia en la salida para una misma entrada, según la dirección en que se alcance.

5. Características Dinámicas.

La presencia de inercias, capacidades, y en general , de elementos que almacenen energía, hace que la respuesta de un sensor a señales de entrada variable sea distinta a la que presenta cuando las señales de entrada son constante, descrita mediante las características estáticas. La descripción se hace aquí mediante las características dinámicas:

Error Dinámico: Es la diferencia entre el valor indicado y el valor exacto de la variable medida, siendo nulo el error estático.

La Velocidad de Respuesta: Indica la rapidez con que el sistema de medida responde a los cambios en la variable de entrada.

La parte analógica de los sistemas de medidas mas simples se describe con un modelo matemático que consiste en una ecuación diferencial lineal con coeficiente constantes. La relación entre la salida y la entrada viene dada por la función de transferencia, que es el cociente entre las respectivas transformadas de Laplace. El orden de la función de transferencia coincide con el número de elementos independientes que almacenan energía en el sistema físico, en cualquiera de sus formas (bobina, condensador, muelle, masa inercial, etc).

La mayoría de los sensores se pueden describir con modelos de orden cero, uno o dos, y respuesta de tipo pasa bajo. La respuesta del resto de los elementos analógicos de un sistema de medida no debe modificar la salida del sensor más que con la contribución de una ganancia y una conformación de la respuesta en frecuencia, por ejemplo para eliminar interferencias. La función de transferencia de un sistema de orden cero es:

donde k es la sensibilidad.
La función de transferencia de un sistema de primer orden es:

donde k se denomina ahora sensibilidad estática, τ es la constante de tiempo y wc (=1/τ) es la frecuencia angular de corte, que corresponde a una atenuación de amplitud de –3 dB respecto a la respuesta en continua.

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es:

donde k es la sensibilidad estática, ωn es la frecuencia angular (o pulsación) natural y ζ es el
coeficiente de amortiguamiento.

6. Caractaristicas de Entrada.

Las características estáticas y dinámicas no modelan en forma completa los sistemas de medida. Está el efecto de carga que ejerce el sistema sobre el proceso bajo análisis. Cuando se definió el sistema de medida se comentó que el sensor tomaba energía del medio. Esta toma de energía altera de alguna forma el medio. Luego se puede hablar de error de carga como aquel relacionado
con la alteración de la variable medida debido al sistema de medida utilizado.
En el caso de sensores eléctricos, este fenómeno queda descrito por la impedancia de entrada. El valor de esta variable para reducir su efecto sobre la variable a medir queda determinado por el tipo de variable a medir. Si la variable a medir se mide entre dos puntos o dos regiones del espacio, se dice que son variables de esfuerzo, y en ese caso se requiere que la impedancia de entrada del sistema de medida sea alta. Si la variable a medir se pide en un punto o región del espacio se dice que son variables de flujo, en cuyo caso se requiere que la impedancia d entrada sea baja. Esto se entiende mejor si analizamos el método para medir tensión y corriente. La tensión se mide entre dos puntos, y por tanto es una variable de esfuerzo: por ello se requiere que el voltímetro tenga una impedancia de entrada elevada. En cambio, si se requiere medir corriente, se intercala una resistencia en el hilo de conexión midiéndose la corriente en un punto, por tanto es una variable de flujo y por tanto la impedancia del amperímetro será baja.

7. Errores en los Sistemas de Medidas y su Análisis.

La limitación de los elementos físicos disponibles para realizar un sistema de medida hacen que las señales de salida discrepen de las que se obtendrían con un sistema ideal. Estas discrepancias se denominan errores y, dado que algunas de ellas son inevitables, el objetivo es reducirlas de modo que a partir de la salida se pueda determinar el valor de la entrada con una incertidumbre aceptable. El número de cifras con que se exprese un resultado debe concordar con la incertidumbre que tenga asociada.

Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de referencia, más exacto.

La calibración permite corregir los errores sistemáticos y estimar la magnitud de los errores
aleatorios (pero no corregirlos).

8. Incertidumbre de las Medidas.

La incertidumbre en una magnitud se obtiene como resultado de un cálculo en el que intervienen otras magnitudes y depende de la incertidumbre en el valor de cada una de ellas. Cuando dicha incertidumbre se expresa como error relativo, el uso de la derivada logarítmicapuede facilita el cálculo. Por ejemplo, si y = xz + u, entonces:

Si las variaciones son muy pequeñas, podemos sustituir diferenciales por incrementos:
El error relativo en cada variable queda ponderado por un factor que depende del peso relativoque tenga dicha variable en el valor de la magnitud dependiente.

9. Error Sistemático.

Un error sistemático tiene siempre la misma amplitud cuando las condiciones del sistema son las mismas, o bien varía de acuerdo con una ley conocida cuando una de dichas condiciones cambia de una forma predeterminada.Pueden surgir de emplear un método inadecuado, un instrumento defectuoso o bien por usarloen condiciones para las que no estaba previsto su uso.

10. Error Aleatorio.

Un error aleatorio tiene una magnitud que cambia de unas a otras ocasiones a pesar de que las condiciones del sistema sean las mismas.
Los errores aleatorios se manifiestan cuando se mide repetidamente la misma magnitud con el mismo instrumento y el mismo método, y presentan las siguientes propiedades:
a)Los errores aleatorios positivos y negativos de igual valor absoluto tienen la misma probabilidad del producirse.
b) Los errores son tanto menos probables cuando mayor sea su valor.
c)Al aumentar el número de medidas, la media aritmética de los errores aleatorios de una muestra tiende a cero.
d) Para un método de medida determinado, los errores aleatorios no exceden de cierto valor. Las medidas que lo superan deben repetirse y, en su caso, estudiarse por separado.

11. Errores Estáticos y Errores Dinámicos.

Un error estático afecta a las señales lentas, por ejemplo de frecuencia inferior a 0,01 Hz. Un
error dinámico afecta a las señales rápidas, y es una consecuencia de la presencia de elementos que almacenan energía. Dado que en la respuesta dinámica se consideran dos fases, la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria, se habla de error dinámico transitorio y error dinámico estacionario.
El error dinámico de un sistema depende de su orden y de la forma de la señal de entrada. Las señales consideradas habitualmente son el escalón, la rampa y las senoidales. Los sistemas de orden cero no tienen error dinámico. Los sistemas de primer y de segundo orden tienen un error dinámico para las entradas en rampa y senoidales, incluso en régimen estacionario, ytienen un error dinámico para las entradas en escalón sólo durante la fase transitoria. En los sistemas de segundo orden la fase transitoria dura tanto más cuanto menor sea el amortiguamiento. El error dinámico para entradas senoidales incluye un retardo y un error de amplitud, pero normalmente al hablar de error dinámico se suele sobrentender el error de amplitud.

12. Forma de Expresar los Errores.

La magnitud de un error se puede expresar como error absoluto, como error relativo o como error referido a fondo escala. El error absoluto es la diferencia entre el resultado y el verdadero valor (o valor ideal). El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor. El error absoluto se expresa a veces como porcentaje de una magnitud de referencia, por ejemplo el valor de fondo de escala. La elección de una u otra forma de expresión depende del tipo de error.

12.1 Error Absoluto.

Por motivos obvios, y por su propia naturaleza, no es posible determinar exactamente un error. En el mejor de los casos, puede llegarse a una estimación de ese error. Cuando el
resultado de una medida se expresa por:

Lo que se quiere decir es que la magnitud medida se encuentran en el intervalo

con una determinada probabilidad. Con una medida logramos acotar el intervalo de valores en los que se encuentra la magnitud que pretendemos medir, pero siempre con una determinada probabilidad. Es evidente que el error expresado por es una magnitud de la misma clase que la medida y se expresa por tanto con la misma unidad.
También es claro que en las medidas de calidad normal el error debe ser mucho menor
que el valor nominal, x. Por definición es siempre positivo.

12.2 Error Relativo.

El error definido arriba se llama error absoluto. Tiene también interés el error relativo, que se
define como el cociente del error absoluto, dividido por x.

En medidas de una cierta calidad el error relativo debe ser mucho menor que la unidad. Frecuentemente se expresa multiplicado por 100, con lo que aparece en tanto por ciento del valor medido:

13. Cifras Significativa.

Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.
Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con un error de 0,8 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las ras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro?. Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc, pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas. Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión. Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas.

14. Redondeo de Cifras.

Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número. Las reglas que se emplean en el redondeo de números son las siguientes:
a)Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.
b) Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida.
c) Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.
d) Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es 3,68, que está más cerca del original que 3,67. En cambio si el número a redondear, también a tres cifras, fuera 3,673, quedaría 3,67 que es más próximo al original que 3,68. Para redondear 3,675, según la tercera regla, debemos dejar 3,68.
Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.
Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notación exponencial, puesto que si escribimos ``4000'' puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no. En efecto, al escribir 4 x103 queda claro que sólo la cifra ``4'' es significativa, puesto que si los ceros también lo fueran escribiríamos 4,000x103.

15. Errores de Cero, Ganancia y de no Linealidad .

Según su efecto en la característica de transferencia, los errores pueden ser de cero, de ganancia y de no linealidad. Un error de cero permanece constante con independencia del valor de la entrada. Un error de ganancia es proporcional al valor de la entrada. Un error de no linealidad hace que la característica de transferencia se aparte de una línea recta (suponiendo que sea ésta la característica ideal). (Ver gráficos)

Los errores de cero y de no linealidad se suelen expresar como errores absolutos. Los errores de ganancia se suelen expresar como errores relativos. Dado que normalmente hay errores de todos los tipos, la expresión de la incertidumbre o error total suele incluir un término constante y otro que depende del resultado.

16. Estimación del Error de una Medida Directa.

La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto,nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar. No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un error como su propio valor.
Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetivar en gran medida la estimación de errores aleatorios. La estadística permite obtener los parámetros de una población (en este caso el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una magnitud), a partir de una muestra (el número limitado de medidas que podemos tomar).

16.1 Mejor Valor de un Conjunto de Medidas.

Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la existencia de errores aleatorios, las n medidas X1,X2,...Xn serán en general diferentes. El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente. El valor medio se define por:

y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas.

16.2 Dispersión y Error. Desviación Estándar.

Evidentemente, el error de la medida debe estar relacionado con la dispersión de los valores; es decir, si todos los valores obtenidos en la edición son muy parecidos, es lógico pensar que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor. Adoptando un criterio pesimista, podría decirse que el error es la semi diferencia entre el valor máximo y el mínimo. Por ejemplo, en una serie de medidas de una magnitud que arrojen los resultados:
2342 2341 2356 2356 2357

2359 2362 2363 2365 2365

2367 2368 2368 2369 2370

2373 2374 2375 2382 2389

Los valores máximo y mínimo son 2342 y 2389. La semi diferencia es 235. La media es 2366, con lo que si damos como resultado , todos los valores del conjunto de medidas están en el intervalo.Este error es sin embargo excesivamente grande, además de que el criterio utilizado es
discutible. Parece más apropiado tomar como error la desviación media, es decir, el valor medio de la diferencia de los datos respecto al valor central. Sin embargo, como los datos difieren tanto por defecto como por exceso del valor medio, tal desviación se aproximaría a cero. Para evitarlo suele tomarse, no el valor medio de las desviaciones, sino el valor medio de las desviaciones al cuadrado. De esta forma todos los sumandos son positivos. Para que la unidad de este número sea homogénea con la de los datos, se extrae la raíz cuadrada. El valor resultante se llama desviación típica o desviación estándar del conjunto de datos.

Cuando el número de datos es pequeño, suele preferirse el cálculo de la desviación estándar por la ecuación:

La primera suele llamarse desviación estándar de población, y la segunda desviación estándarmuestral. Uno de los motivos de preferir la segunda, es que cuando medimos una sola vez, el resultado de la segunda ecuación 0/0, es decir un número indefinido. Efectivamente, midiendo una magnitud una sola vez, no tenemos información alguna sobre su error, y por lo tanto éste debe permanecer indefinido. Sin embargo la expresión 5 conduciría a un error nulo. Las dos expresiones se emplean, aunque en la práctica, y si el número de medidas es grande, la diferencia entre emplear una u otra es muy pequeña. La más empleada es la segunda, y es la que usara mayormente.

16.3 Significado de la Desviación Estándar. La Distribución Normal.

Los valores de la desviación estándar que hemos calculado en la sección anterior, son realmente estimadores de este parámetro. El conjunto de las medidas de una magnitud, siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la distribución se aproxima a la llamada distribución normal.
La forma de representar en estadística una distribución es representando en abscisas el conjunto de valores que pueden obtenerse en una medida y en ordenadas la probabilidad de obtenerlos. En el caso de que la magnitud medida varíe de forma continua, en ordenadas se representa la probabilidad por unidad de intervalo de la magnitud medida. En una distribución continua, la probabilidad de que una medida esté entre dos valores x0 y x1 viene representada por:

Donde f(x) es la función de densidad de la distribución. La función de densidad representa la puesto que es seguro obtener un valor cualquiera cuando se mide una magnitud.

La función de densidad de la distribución normal recibe también el nombre de campana de Gauss debido a su forma. Está caracterizada por dos parámetros: media y desviación estándar. La media es el valor que con mayor probabilidad aparecerá en una medida. La desviación estándar refleja lo abierta o cerrada que es la campana de Gauss correspondiente. Una distribución muy cerrada se corresponde con una serie de medidas muy poco dispersas, y por tanto con poco error. Por el contrario si la distribución es abierta, la desviación estándar es grande.

16.4 Medidas sin ispersión. Error de lectura o Instrumental.

Consideremos la medida de la longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros. Si la medida se realiza con cierta atención, todas las medidas del objeto proporcionan el mismo valor. Es evidente que en este caso la teoría anterior no resulta aplicable, porque al ser nula la dispersión, la desviación estándar resulta igual a cero. En estos casos, la fuente de error no está en la superposición de muchas causas aleatorias, sino en la sensibilidad del aparato de medida. En efecto, el hecho de que todas las medidas sean iguales no indica en general que no haya error accidental, sino que éste es demasiado pequeño para quedar reflejado en el aparato. En el ejemplo anterior, si el error accidental de las medidas es del orden de 0,001 mm es evidente que la regla no podrá apreciarlo, resultando todas las medidas iguales. En estos casos es necesario estimar el error debido a la sensibilidad finita del aparato de medida.
Se llama sensibilidad de un aparato a la mínima variación de la magnitud medida que es capaz de detectar. En los instrumentos analógicos coincide frecuentemente con la mínima división de la escala. En el ejemplo anterior la sensibilidad de la regla es de 1 mm.
Suele llamarse apreciación al máximo error que puede cometerse debido a la sensibilidad del aparato. Generalmente se considera como la mitad de la sensibilidad. Esto puede comprenderse con un ejemplo. Supongamos un voltímetro de 0,1 V de sensibilidad, cuya aguja indica una tensión comprendida entre 2,1 V y 2,2 V, es decir, la aguja señala un punto intermedio entre las dos marcas o divisiones de la escala. Si el aparato está bien diseñado, una persona con apreciación visual media debe ser capaz de decidir si la aguja está más cerca de 2,1 V o de 2,2 V. Cometeremos el máximo error cuando la aguja se encuentre justamente en el centro de las dos divisiones. En tal caso el error de dar como lectura 2,1 V o 2,2 V es de 0,05 V, es decir la mitad de la sensibilidad.

En resumen, el error instrumental de una medida se expresa frecuentemente por:

Donde: s es la sensibilidad del aparato de medida.
Hemos visto que cuando el error instrumental es mucho mayor que el accidental, éste queda enmascarado por aquel. El efecto inverso es también posible. Por tanto, en los casos en que el error accidental de una medida sea mucho mayor que el instrumental, sólo consideraremos el error accidental. En aquellos casos en que los errores sean del mismo orden de magnitud, puede considerarse que el error total es la suma de los dos:

16.5 Propagación de Errores.

La propagacion de errores (o propagación de incertidumbre) es el efecto de variables de incertidumbre (o errores) en la incertidumbre de una función matemática basada en ellos. Cuando las variables son los valores de mediciones experimentales tienen incertidumbre debido a la medición de limitaciones (por ejemplo, instrumento de precisión), que se propagan a la combinación de variables en la función

Las operaciones matemáticas con números inciertos dan lugar a resultados también inciertos,
y es importante poder estimar el error de los resultados a partir de los errores de los números
con los que se opera.

En la propagación de errores existen un conjunto de reglas que permiten asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y, ...
• Permiten asignar un error al resultado final.
• Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas.
• Planificación del experimento.

16.6 Ajuste por Minimos Cuadrados.
Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal

y = ax + b

donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta éste están ligadas a través de una ley lineal:

l = (1/K)F con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es una característica propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.

El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados.Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver Fig. 1). El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado

donde n es el número de medidas y S representa la suma de todos los datos que se indican.
Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de mínimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales, los valores yi de la variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo aceptamos como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán afectadas de sus errores correspondientes, si e es el valor máximo de todos estos errores, entonces se tiene:

La pendiente de la recta se escribirá , y la ordenada en el origen .
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:

Su valor puede variar entre 1 y -1.
Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta e inversa.
Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.
Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta y directa.